PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Di
harapkan para Siswa dapat menjelaskan Definisi, dan juga mendeskripsikan serta
mengerti tentang barisan dan deret.
Juga di harapkan untuk guru yang memberi pelajaran
matematika agar sabar dan tidak membedakan siswa atau siswi manapun, karena itu
adalah salah satu pelanggaran HAM di sekolah.
Pendidikan matematika merupakan salah satu pendidikan
hitung berhitung atau bahkan lebih dari itu, semoga materi yang akan di
pelajari bermanfaat untuk kami.
B. Tujuan Penulisan
Tujuan dari
penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui dan memahami salah satu materi
matematika yaitu Matriks. Dan penulisan makalah ini juga untuk memenuhi tugas
dari ibu guru matematika di sekolah.
C. Rumusan Masalah
Barisan dan Deret
Barisan Aritmatika
Deret Aritmatika
Barisan dan Deret Tak Hingga
Barisan Konstan, Naik, dan Turun
Contoh - Contoh
Masalah - Masalah
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Matriks
1. Pengertian,
Notasi, Ordo, dan Transpose Matriks
Bentuk
matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang di atur pada baris (jaringan) dan
lajur (kolom).
a11 a12 a13 a14 Elemen baris ke-1
a21 a22 a23 a24 Elemen baris ke-2
a31 a32 a33 a34 Elemen baris ke-3
a41 a42 a43 a44 Elemen baris ke-4
Elemen Elemen Elemen Elemen
Kolom ke-1
kolom ke-2 kolom ke-3 kolom ke-4
A
disebut notasi suatu matriks
a11,a12,…,a21,a22,…
disebut elemen atau komponen matriks. Dari keterangan di atas, m adalah
banyaknya baris, sedang n adalah banyaknya kolom dan m x n di sebut ordo
matriks.
Contoh:
3 1
2 7
A = 4
5 3 1
6
2 9 2
A = notasi matriks A
Elemen baris
pertama adalah (3 1 2 7).
Elemen baris kedua
adalah (4 5 3 1).
Elemen
kolom pertama adalah 3
4
6
Elemen
kolom kedua adalah 1
5
2
Ordo adalah baris x kolom,
misalkan barisnya 3 dan kolomnya 2 maka ordonya adalah 3 x 2 .
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
[aij] yang memenuhi
kondisi aij = i(j-1)!
Contoh:
a11 = 11-1=1
2. Transpos matriks
Transpos matriks dinotasikan dengan At
atau A1 jika A adalah suatu
matriks, maka transpos matriks adalah apabila matriks A berordo m x n,
maka At adalah matriks berordo n x m.
Contoh:
2
Jika A = 2 3 5
At = 3
6
7 8 5
2
Jika
B = 0 Bt
= 2
0 4
4
B. Kesamaan Dua
Matriks
Dua matriks A dan B
dikatakan sama apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak juga
sama.
Contoh 1 :
3 4 6 9 6 2
x 2
A = 2 6 ,
B = 2 3 ,
C = 2
2 6 2 3
x 2
Matriks A =
Matriks B
Matriks A = Matriks C
Matriks B = Matriks C
Contoh 2:
Tentukan X dan Y, jika dua
matriks berikut adalah matriks yang sama!
6x+3 7 21 7
A = 4
2y-5 , B =
4 19
Jawab :
Karena A = B, maka
6x + 3=21 2y
– 5 = 19
6x =18 2y
= 24
X = 18:3 y
= 24:2
X = 3 y
= 12
Jadi x dan y
berturut-turut adalah 3 dan 12.
C. Macam-Macam Matriks
Ada beberapa macam matriks
antara lain:
1. Matriks Baris
Matriks baris
adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris atau matriks yang berordo ( 1
x m), m > 1.
Contoh:
a. A1x3=( 3 6 2 )
b. B1X4=( 1 3 6
2 )
2.Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom atau matriks
yang berordo ( n x 1 ),n>1.
Contoh:
1
1 2
a. B 3x1= 2 b. B4x1= 4
4 0
3. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris
sama banyaknya kolom, atau berordo m x n dengan m =.
Contoh:
1
2 5
4 2
a) C2 x 2
= 3
-1 b) C3
x 3= 1
5 1
3
2 2
Hasil penjumlahan elemen-elemen
pada diagonal utama dari matriks disebut trace.
Trace = a11 + a22 +…
+ ann
Contoh:
a. Trace dari matriks C2 x 2= 1 = (-1) = 0
b. Trace dari matriks C3 x 3= 5 + 5 + 2 = 12
4.Matriks Segitiga Atas dan
Matriks Segitiga Bawah
Matriks segitiga atas adalah
matriks persegi yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya adalah nol.
Contoh:
1 0
a. A2 x 2 = 2 3
1 0
0
b. B3 x 3= 4 5 0
3
2 4
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen di
bawah diagonal utamanya adalah nol.
2 3
a. A2 x 2= 0 5
1
3 2 4
b. B3 x 3 = 0 3
1 5
0 0 4 3
0 0 0
5
5. Matriks Diagolnal
Matriks
diagonal adalah matriks dengan elemen-elemen selain diagonal utamanya adalah
nol.
Contoh:
1 0 0 5 0 0 0 0
0 3
a. A3x3= 0 5 0 b. B4x4= 0 2 0 0 c. C3x3= 0 1 0
yang di arsir adalah
0
0 3 0
0 1 0 2 0 0 diagonal
samping
0
0 0 3
yang di arsir adalah diagonal utama
6. Matriks Skalar
Matriks sekalar
adalah suatu matriks yang elemen selain diagonal utamanya adalah nol dan elemen
diagonal utamanya mempunyai nilai yang sama.
Contoh:
6 0
0 0
3 0 0 6
0 0
a. K2= 0 3 c. K4= 0
0 6 0
0 0
0 6
5 0 0
b. K3= 0 5 0
0 0 5
D. Operasi Aljabar Dua Matriks
Operasi aljabar
dua matriks meliputi penjumlahan dan pengurangan matriks.
1. Penjumlahan Matriks
Dua
buah matriks dapat dijumlahkan apabila ordonya sama. Hasil penjumlahannya
adalah sebuah matriks baru yang berordo sama, yaitu dengan cara menjumlahkan
elemen-elemen yang seletak.
a b e f
A= c d dan B=
g h
a b e f a+e
b+f
A+B= c d
+ g h =
c+g d+h
Contoh:
3 2 5 -4 3 2 5 -4
Jika A= 4 5 dan
B = 2
3 , maka A+B= 4 5
+ 2 3
-3 -1
1 0 -3
-1 1 0
3+5 2-4
= 4+2
5+3
-3+1
-1+0
8 -2
= 6
8
-2
-1
2. Pengurangan Matriks
Dua
buah matriks dapat dikurangkan apabila ordonya sama. Hasil pengurangannya
adalah sebuah matriks baruyang berordo sama dan diperoleh dengan mengurangkan
elemen-elemen yang seletak.
a b e f
A= c d B= g
h
a b e f a-e b-f
A-B= - =
c d g h c-g d-h
Contoh:
2
4 -5 3
1. Jika A = -5 1 dan
B= 4 1
A-B= 2 4
- -5 3
= 2+5
4-3
-5 1 4 1
-5-4 1-1
7 1
= -9
0
-4
-5 0 1 0
4
2. Jika A= -3 1
5 dan B= 1
-3 2
Maka:
A-B = -4
-5 0 -
1 0 4
-3 1
5 1 -3 2
=
-4-1 -5-0 0-4
-3-1 1+3
5-2
= -5
-5 -4
-4 4
3
E. perkalian matriks
1. perkalian matriks dengan bilangan
Jika k = bilangan real dan m =
a b
c d ,
maka:
k A = k
a b =
ka kb
c d
kc kd
Contoh:
Tentukan hasil perkalian matriks berikut:
Jika k = 5,A = , B = , maka:
2 4 10
20
a. k A= 5 5 1 = 25
5
7
2 35
10
b. k B= 5 3
1 = 15 5
2
7 10 35
Sifat perkalian matriks dengan scalar:
Jika matriks A dan B berordo sama dan x,y anggota bilangan Real, maka :
a. (x+y)A= xA +
yA
b. x(A + B)= xA
+ xB
c. x(yA)= (xy)A
d. I xA= Ax I= A
dengan I= matriks identitas
e. (-I)A= A(-I)=
-A
2. Perkalian Matriks dengan Matriks
Dua
buah matriks A dan B dapat dikalikan apabila banyaknya kolom pada matriks A
sama dengan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada
matriks B.
Elemen-elemen
dari matriks hasil perkalian diperoleh dengan menjumlahkan hasil kali antara
elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B, dan dinotasikan A x B.
a b e f
Jika A= c
d , B g h , maka
a b
e f
A x B = c d
X g h
5.6+3.4 5.2+3.(-5)
= 2.6+1.4
2.2+1.(-5)
30+12 10-5 42
-5
A x B = 12+4 4-5
= 16 -1
42 -5
Jadi A x B = 16 -1
Sifat-sifat perkalian matriks
dengan matriks adalah:
Jika A, B, dan C adalah suatu
matriks
a. (AB)C = A(BC) Asosiatif
b. A(B + C) = AB + AC Distributif kiri
c. (B + C)A = BA + CA Distributif kanan
d. k(AB) = (KA)B = A(kB) k bilangan real
e. AI = IA = A
I: identitas
f. AO = OA =
O matriks nol
g. AB = BA = pada umumnya tidak komulatif
F. Determinan dan Invers Matriks Ordo 2 x 2
dan 3 x 3
1. Determinan
Matriks
a b
Jika A = c
d , maka determinan dari matriks
A didefinisikan:
a
b
A =
c d = ad
- bc
Contoh:
Tentuka determinan matriks berikut:
2 5
a. A = -4 0
Jawab:
2 5
A =
-4 0
=
2.0 – ((-4).5)
=
0 + 20 = 20
-1
3
b.
B = 2
4
Jawab:
-1
3
B = 2
4 = (-1).4-3.2=-4 – 6 = -10
2.Invers Matriks
Matriks A mempunyai invers
bila A
= 0. Matriks yangmempunyai invers disebut matriks non singular. Matriks
A tidak punya invers bila A = 0, matriks
yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular. Jika A suatu matriks,
maka inversnya dinotasikan dengan A-1. Rumus invers adalah sebagai
berikut:
Jika A = a
b
c
d , maka
A-1 = ____1_____ d
-b
Determinan A -c a
atau
A-1
= _1___
d -b
= ____1____ d
-b
A
-c a ad – bc -c
a dengan ad –
bc = 0.
Contoh:
Jika A =
1 2
3
8 , tentukan inversnya!
Jawab:
A = 1
2 = 8 -6 = 2
3 8
A-1 = 1_
8 -2 = _1_
8 -2 =
4 -1
A -3 1
2 -3
1 _ 3 1
2
2
Sifat
a. A.A-1 = A-1.A=I
b. Jika Ab = BA = I, maka A = B-1 atau B =
A-1
c (AB)-1 = B-1.A-1
d. Jika AX = B berarti X = X A-1.B
Jika XA = B
berarti X + B.A-1.
Matriks
ordo 3x3
Cara
Sarrus
Misalkan:
Jika
maka tentukan
!
Penghitungan matriks dilakukan
dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e
→ i, b → f → g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke
kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i) sehingga menjadi:
Contoh:
maka tentukan
!
Cara menentukan det (A), dengan Metode sarrus. Yaitu
sebagai berikut
Misalnya
matriks A3 x 3 50 75
40 50 75
40 50 75
30 45
25 = 30
45 25 30 45
32 50
30 32 50
30 32 50
=
(50.45.30)+(75.25.32)+(40.30.50)-(32.45.40)-(50.25.50)- (30.30.75)
=-100.
BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan
pembahasan tentang matriks maka dapat diambil beberapa kesimpulan, yaitu:
- Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris atau kolom-kolom. Jenis-jenis matriks yaitu: matriks baris, matriks kolom ataumatriks lajur, matriks persegi atau matriks bujur sangkar, matriks segitiga, matriks diagonal dan matriks identitas.
- Matriks A dan matriks B dikatakan sama, jika dan hanya jika ordo matriks A dan ordo matriks B sama dan elemen-elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama.
- Sifat-sifat penjumlahan matriks yang berordo sama, yaitu: bersifat komutatif, bersifat asosiatif, terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks 0 yang bersifat: A + 0 = 0 + A =A, dan semua matriks A mempunyai lawan atau negatif -A yang bersifat: A +(-A)=0.
B. Saran
Demikian makalah yang kami buat, semoga dapat bermanfaat
bagi pembaca. Apabila ada saran dan kritik yang ingin di sampaikan, silahkan
sampaikan kepada kami.
Apabila ada terdapat kesalahan mohon dapat mema'afkan dan
memakluminya, karena kami adalah hamba Allah yang tak luput dari salah khilaf,
Alfa dan lupa.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar